\(a)\) Để pt có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thì \(\Delta'=\left(1-m\right)^2-m^2+3m=1-2m+m^2-m^2+3m=m+1>0\)\(\Leftrightarrow\)\(m>-1\)

Vậy để pt có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thì \(m>-1\)

\(b)\) Ta có : \(T=x_1^2+x_2^2-\left(m-1\right)\left(x_1+x_2\right)+m^2-3m\)

\(T=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+\left(1-m\right)\left(x_1+x_2\right)+m^2-3m\)

Theo định lý Vi-et ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(1-m\right)\\x_1x_2=m^2-3m\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)\(T=4\left(1-m\right)^2-2\left(m^2-3m\right)-2\left(1-m\right)\left(1-m\right)+m^2-3m\)

\(T=4m^2-8m+4-2m^2+6m-2m^2+4m-2+m^2-3m\)

\(T=m^2-m+2=\left(m^2-m+\frac{1}{4}\right)+\frac{7}{4}=\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\ge\frac{7}{4}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(m=\frac{1}{2}\) ( thoả mãn ) 

Vậy GTNN của \(T=\frac{7}{4}\) khi \(m=\frac{1}{2}\)

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2+2m\right)=1>0\)

\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=m+1-1=m\\x_2=m+1+1=m+2\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1\right|=3\left|x_2\right|\Leftrightarrow\left|m\right|=3\left|m+2\right|\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3m+6=-m\\3m+6=m\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-\dfrac{3}{2}\\m=-3\end{matrix}\right.\)

b) phương trình có 2 nghiệm  \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2-\left(m-1\right)\left(m+3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m+1-m^2-3m+m+3\ge0\)

\(\Leftrightarrow-4m+4\ge0\)

\(\Leftrightarrow m\le1\)

Ta có: \(x_1^2+x_1x_2+x_2^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=1\)

Theo viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m+3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[-2\left(m-1\right)^2\right]-2\left(m+3\right)=1\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-2m-6-1=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-10m-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{5+\sqrt{37}}{4}\left(ktm\right)\\m_2=\dfrac{5-\sqrt{37}}{4}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow m=\dfrac{5-\sqrt{37}}{4}\)

Câu c:

PT có 2 nghiệm pb

`<=>Delta'>0`

`<=>(m+1)^2-2m>0`

`<=>m^2+2m+1-2m>0`

`<=>m^2+1>0` luôn đúng.

`a,\sqrt{\Delta}=\sqrt{m^2+1}`

`=>x_1=(2m+2+\sqrt{m^2+1})/(2m)`

`=>-3x_1=(-6m-6-3\sqrt{m^2+1})/(2m)`

`=>x_1=(2m+2-\sqrt{m^2+1})/(2m)`

`=>-2x_1=(\sqrt{m^2+1}-m-1)/m`

b,Áp dụng vi-ét

`=>x_1+x_2=(2m+2)/m,x_1.x_2=2/m`

PT có các nghiệm thì bạn phải ghi rõ đề chứ?

PT có 2 nghiệm pb

`<=>Delta>0`

`<=>4(m+1)^2-8m>0`

`<=>4m^2+8m+4-8m>0`

`<=>4m^2+4>0` luôn đúng.

`a,\sqrt{\Delta}=2\sqrt{m^2+1}`

`=>x_1=(2m+2+2\sqrt{m^2+1})/(2m)=(m+1+\sqrt{m^2+1})/,`

`=>-3x_1=(-3m-3-3\sqrt{m^2+1})/(m)`

`=>x_2=(2m+2-2\sqrt{m^2+1})/(2m)=(m+1-\sqrt{m^2+1})/m`

`=>-2x_2=(2\sqrt{m^2+1}-2m-2)/m`

b,Áp dụng vi-ét

`=>x_1+x_2=(2m+2)/m,x_1.x_2=2/m`

PT có các nghiệm thì bạn phải ghi rõ đề chứ?

a, Thay \(m=-3\) vào \(\left(1\right)\)

\(x^2-2.\left(m-1\right)x-m-3=0\\ \Leftrightarrow x^2-2.\left(-3-1\right)x+3-3=0\\ \Leftrightarrow x^2+8x=0\\ \Leftrightarrow x\left(x+8\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-8\end{matrix}\right.\)

Vậy với \(m=-3\) thì \(x=0;x=-8\)

b,  

\(\Delta'=\left[-\left(m-1\right)\right]^2-1.\left(-m-3\right)\\ =m^2-2m+1+m+3\\ =m^2-m+4\)

phương trình có hai nghiệm phân biệt

 \(\Delta'>0\\ m^2-m+4>0\\ \Rightarrow m^2-2.\dfrac{1}{2}m+\dfrac{1}{4}+\dfrac{7}{2}>0\\ \Leftrightarrow\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{2}>0\left(lđ\right)\)

\(\Rightarrow\forall m\)

Áp dụng hệ thức Vi ét :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-m-3\end{matrix}\right.\)

\(\left(x_1-x_2\right)^2=4m^2-5\left(x_1+x_2\right)\\ \Leftrightarrow x_1^2+2x_1.x_2+x^2_2-4x_1x_2=4m^2-5\left(x_1+x_2\right)\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4m^2-5\left(x_1+x_2\right)\\ \Leftrightarrow\left(2.\left(m-1\right)\right)^2-4.\left(-m-3\right)=4m^2-5.\left(-m-3\right)\\ \Leftrightarrow4m^2-8m+4+4m+12-4m^2-5m-15=0\\ \Leftrightarrow-9m+1=0\\ \Leftrightarrow m=\dfrac{1}{9}\)

Vậy \(m=\dfrac{1}{9}\)

a.

Thế m = -3 vào phương trình (1) ta được:

\(x^2-2\left(-3-1\right)x-\left(-3\right)-3=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(x^2+8x=0\)

 \(\Leftrightarrow x\left(x+8\right)=0\\ \Rightarrow x_1=0,x_2=-8\)

b.

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì:

\(\Delta>0\\ \Leftrightarrow\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4.1.\left(-m-3\right)>0\)

\(\Leftrightarrow4.\left(m^2-2m+1\right)+4m+12>0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4+4m+12>0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4m+16>0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m\right)^2-4m+1+15>0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)^2+15>0\)

Vì \(\left(2m-1\right)^2\) luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi m nên phương trình (1) có nghiệm với mọi m.

Theo viét:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-2\\x_1x_2=-m-3\end{matrix}\right.\) (I)

có:

\(\left(x_1-x_2\right)^2=4m^2-5x_1+x_2\)

<=> \(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2-4m^2+5x_1-x_2=0\)

<=> \(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2-4m^2+5x_1-x_2=0\)

<=> \(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2-4m^2+5x_1-x_2=0\)

<=> \(\left(2m-2\right)^2-4.\left(-m-3\right)-4m^2+5x_1-x_2=0\)

<=> \(4m^2-8m+4+4m+12-4m^2+5x_1-x_2=0\)

<=> \(-4m+16+5x_1-x_2=0\)

<=> \(5x_1-x_2=4m-16\) (II)

Từ (I) và (II) ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}5x_1-x_2=4m-16\left(2\right)\\x_1+x_2=2m-2\left(3\right)\\x_1x_2=-m-3\left(4\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (2) ta có:

\(x_1=\dfrac{4m-16+x_2}{5}=\dfrac{4}{5}m-3,2+\dfrac{1}{5}x_2\) (x)

Thế (x) vào (3) được:

\(\dfrac{4}{5}m-3,2+\dfrac{1}{5}x_2+x_2=2m-2\)

<=> \(\dfrac{4}{5}m-3,2+\dfrac{1}{5}x_2+x_2-2m+2=0\)

<=>  \(-1,2m-1,2+1,2x_2=0\)

<=> \(x_2=1,2m+1,2\) (xx)

Thế (xx) vào (3) được:

\(x_1+1,2m+1,2=2m-2\)

<=> \(x_1+1,2m+1,2-2m+2=0\)

<=> \(x_1-0,8m+3,2=0\)

<=> \(x_1=-3,2+0,8m\) (xxx)

Thế (xx) và (xxx) vào (4) được:

\(\left(-3,2+0,8m\right)\left(1,2m+1,2\right)=-m-3\)

<=> \(-3,84m-3,84+0,96m^2+0,96m+m+3=0\)

<=> \(0,96m^2-1,88m-0,84=0\)

\(\Delta=\left(-1,88\right)^2-4.0,96.\left(-0,84\right)=6,76\)

\(m_1=\dfrac{1,88+\sqrt{6,76}}{2.0,96}=\dfrac{7}{3}\left(nhận\right)\)

\(m_2=\dfrac{1,88-\sqrt{6,76}}{2.0,96}=-\dfrac{3}{8}\left(nhận\right)\)

T.Lam

\(ac=-2< 0\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm pb trái dấu

Mà \(x_1>x_2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2< 0\\x_1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|x_1\right|=x_1\\\left|x_2\right|=-x_2\end{matrix}\right.\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-1\\x_1x_2=-2\end{matrix}\right.\)

\(\left|2x_1\right|-\left|x_2\right|=2+x_1\)

\(\Leftrightarrow2x_1+x_2=2+x_1\)

\(\Leftrightarrow x_1+x_2=2\)

\(\Leftrightarrow m-1=2\)

\(\Rightarrow m=3\)

viet dc k bạn

\(\Delta'=b'^2-ac=-6m+7=>\)\(m\ge\frac{7}{6}\)

Theo Vi-ét : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m-2\right)\\x_1.x_2=m^2+2m-3\end{cases}}\)Mà \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{5}=>\)\(\frac{x_1+x_2}{x_1.x_2}=\frac{x_1+x_2}{5}\)

=> \(x_1.x_2=5\)<=> \(m^2+2m-3=5\)<=> \(m^2+2m-8=0\)

Giải pt trên ta đc : \(\orbr{\begin{cases}m=2\\m=-4\end{cases}}\)Mà \(m\ge\frac{7}{6}\)=> \(m=2\)

\(x^2-2\left(m-2\right)x+\left(m^2+2m-3\right)=0\)   \(\left(#\right)\)

từ pt \(\left(#\right)\) ta có  \(\Delta'=\left[-\left(m-2\right)\right]^2-m^2-2m+3\)

\(\Delta'=m^2-4m+4-m^2-2m+3\)

\(\Delta'=-6m+7\)

để pt  \(\left(#\right)\) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thì \(\Delta'>0\)

\(\Leftrightarrow-6m+7>0\)

\(\Leftrightarrow-6m>-7\)

\(\Leftrightarrow m< \frac{7}{6}\)

theo định lí vi et \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m-4\\x_1.x_2=m^2+2m-3\end{cases}}\)

theo bài ra ta có \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{5}\)

\(\frac{x_2+x_1}{x_1.x_2}=\frac{x_1+x_2}{5}\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right).5=\left(x_1.x_2\right)\left(x_1+x_2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right).5-\left(x_1.x_2\right)\left(x_1+x_2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right).\left(5-x_1.x_2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-4\right)\left(5-m^2-2m+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-4\right)\left(m^2+2m-8\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2m-4=0\left(1\right)\\m^2+2m-8=0\left(2\right)\end{cases}}\)

từ \(\left(1\right)\)  ta có \(m=2\)  ( KTM ) 

từ \(\left(2\right)\) ta có \(m^2+2m-8=0\)  \(\left(3\right)\)

từ pt \(\left(3\right)\)  ta có \(\Delta'=1^2-\left(-8\right)=1+8=9>0\Rightarrow\sqrt{\Delta'}=3\)

vì \(\Delta'>0\)  nên pt \(\left(3\right)\)  có 2 nghiệm phân biệt \(m_1=-2+3=1\)  ;  ( TM ) 

 \(m_2=-2-3=-5\)  ( TM ) 

vậy \(m_1=-5;m_2=1\)  là các giá trị cần tìm